Calendrier : les solutions

PolarPolaire-pano-logo-txt-HD

Ces énigmes et leur résolution vous sont proposées par Thomas Guyard, doctorant en mathématiques au Laboratoire Jean Leray de l’Université de Nantes.

Ep. 1 – Nouvelle Balle

Question : Comment obtenir 100 avec une somme des éléments suivants : 16, 17, 23, 24,
39 et 40 ?

Réponse : On peut remarquer que 16+24=40, 17+23=40 et 16+23=39. Comme on veut
trouver le moins de tirs possibles, on ne peut donc pas avoir en même 16 et 24, ni 17 et 23,
ni 16 et 23 (sinon on les remplace par 39 ou 40).

Maintenant on peut tester toutes les possibilités en commencant par les plus grands
nombres :
 40+40+40=120 trop grand
 40+40+39=119 trop grand
 … 40+40+17=97 trop petit

On trouve 16+16+17+17+17+17=100 ce qui donne 6 tirs !

Ep. 2 – Faut pas traîner

Question : Un trajet de 10km se fait en 4 min avec le vent de face, et en 3 min avec le
vent de dos. En combien de temps fait-on le trajet sans vent ?

Réponse : On pose d’abord quelques notations : Vvent est la vitesse du vent, Vtraineau
est la vitesse du traineau on va les exprimer en kilomètre/minute.

On rappelle la définition de vitesse : vitesse = distance / temps

1. Le trajet avec le vent de face nous donne l’équation suivante :
Vtraineau – Vvent = 10/4.

2. Le second trajet nous donne l’équation : Vtraineau + Vvent = 10/3.

3. On va chercher à calculer Vtraineau : on commence par faire la somme des deux équations : Vtraineau – Vvent + Vtraineau + Vvent = 10/4 + 10/3.

4. On simplifie : 2Vtraineau = 10/3 + 10/4.

5. Et on trouve alors Vtraineau = 35/12.

6. Comme le trajet fait 10 km, et la vitesse est 35/12 km/min, le trajet va prendre 10 * 12/35 minutes soit 120/35 minutes. Autrement dit le trajet prendra 3 minutes et 3/7 de minutes (environ 3 minutes et 26 secondes).

EP. 3 Un trou aux archives

Question : Dans un carré grand d’1/16e d’acre, combien de têtes de forage peut-on implanter, sachant qu’elles doivent être séparées de 9 pieds l’une de l’autre ?

Dessin enigme 3

Réponse : On peut en placer 44 en suivant le dessin avec les grandeurs suivantes :
AB = 626/5 = 125,2 pouces ; AD=BD = 108 pouces ; AC = sqrt(7745,24) 88 pouces.

Pour trouver ces valeurs, on place 6 têtes sur un côté du carré, en les écartant au maximum.
On trouve ainsi AB. Maintenant on place la seconde rangée, avec AD = BD = 108
pouces (par hypothèse).

Pour trouver AC, il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de
Pythagore dans le triangle ACD. Puis on place ainsi le maximum de lignes.

Cependant une solution plus optimale existe :

46 cercles de 108 de diamètre dans un carré de 734 de coté.
Ce qui fait que les 46 centres des cercles rentrent dans un carré de 626 de coté.

Sans titre

EP. 4 Un problème épineux

Question : 10 euros les 2 gros sapins, 10 euros les 3 petits sapins. Nombre de gros sapins = Nombre de petits sapins. Finalement on vend à 20 euros les 5 sapins. En vendant tout, il manque 70 euros par rapport à la vente habituelle.

Réponse : on cherche d’abord Nsapins le nombre de sapins vendus. Les sapins sont vendus
par paquets de 5 donc Nsapins est divisible par 5. Il y a autant de gros que de petits sapins
donc Nsapins est divisible par 2. De plus, Ngros sapins est divisible par 2 et Npetits sapins est
divisible par 3. Donc Nsapins est divisible par 60.

Supposons qu’il y ait en eet 60 sapins (30 gros et 30 petits). La vente en gros rapporte
20 * 60/5 soit 240 euros. La vente habituelle aurait rapporté 10 * 30/3 + 10 * 30/2 soit 250 euros.
avec 60 sapins, il manque 10 euros. Comme il manque 70 euros, cela veut dire qu’il y avait
60*7 = 420 sapins au total.

Les 420 sapins sont donc vendus 1680 euros, ce qui fait 840 euros par lutin. Mais la vente
des gros aurait rapporté au Gros 1050 euros. Le Gros a donc perdu 210 euros.

EP. 5 UN GROS PATRON

 

Question : Quel symbole mathématique peut être placé entre 5 et 9 pour obtenir un
nombre plus grand que 5 et plus petit que 9 ?

Réponse : Une virgule. On obtient 5,9.

EP. 6 MEDIUM MEDIUM

Question : le code possède 10 chiffres. Le 1er chiffre indique le nombre de 0, le second
chiffre indique le nombre de 1 … le 10ème chiffre indique le nombre de 9.

Réponse : 6210001000

EP. 7 Message codé

Question : Remplacez les lettres par des chiffres différents dont la somme correspond à :
RE +MI = FA
DO + SI = MI
LA + SI = SOL

Réponse : R=2; E=7 ; M=5; I=6 ; D=4; O=0; S=1 ; A=3; L=9.
27 + 56 = 83
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109

EP. 8 – Mic Mac au GIEC

Question : Une ceinture magique retrécit sa longueur de moitié et sa largeur d’un tiers a
chaque fois que son propriétaire lui demande d’exaucer un voeux. Après 3 voeux, la surface
de la ceinture était de 4cm2. Quel été la longueur d’origine de la ceinture sachant que sa
largeur d’origine était de 9cm ?

Réponse : 12 cm

La ceinture perd la moitié de sa longueur et perd le tiers de sa longueur après chaque souhait.

Perdre un tiers = Garder 2 tiers

Largeur d’origine = 9 cm.
Après un vœu Largeur =9*2/3
Après trois vœux Largeur actuelle =9*2/3*2/3*2/3 = 8/3 cm

Superficie actuelle = 4 = largeur actuelle * longueur actuelle
donc Longueur actuelle = 3/2 cm.

Longueur d’origine = 12 cm (car 12*1/2*1/2*1/2 = 3/2)

EP. 9 – L’habit ne fait pas le moine

Question : Quel est le nombre maximal d’intersections entre 4 cercles ?

Réponse : Le nombre d’intersections entre 2 cercles est au maximum de 2.
Il faut trouver combien de paires diérentes de cercles on peut faire avec 4 cercles.
On peut faire 6 paires diérentes (1 et 2, 1 et 3, 1 et 4, 2 et 3, 2 et 4, 3 et 4).
Le nombre d’intersections est au plus de 2 pour chacune de ces paires.
On a donc au maximum 12 points d’intersections.

Benoit Dessort nous a d’ailleurs proposé ce magnifique logo, merci à lui.

Benoit dessort enigme 9

 

EP. 10 – UN PRISONNIER GONFLE

Question : Soit une suite de 7 nombres consécutifs dont la somme vaut 980. COmbien
vaut le plus petit nombre de cette suite.

Réponse : 137
Si on divise 980 par 7, on trouve le nombre qui sera au milieu de la suite.
Donc la suite est 137,138,139,140,141,142,143.

EP. 11 – Ennemis repérés

Question : On prend un cercle de rayon 10cm et on trace un polygône régulier à l’intérieur d’aire de 300cm2. Combien de côté a le polygône ?

Réponse : On note N le nombre de côté du polygone.
On divise le cercle en N parts, de façon à ce que le polygone soit découpé en N triangles.

L’aire de chaque triangle sera 30/N.
.
On va chercher une autre façon de calculer l’aire de ce triangle. Ce triangle sera isocèle (deux
côtés mesurent 10 cm), avec un angle de 2π/N pour le sommet au centre du cercle. On trace
la hauteur qui part de ce sommet (et qui coupe donc l’angle en deux parties égales). On a
maintenant deux triangles rectangles.

On applique le cosinus et sinus à cet angle et on obtient :

cos(π/N) = hauteur/10
sin(π/N) = base/10

Donc on peut calculer l’aire du triangle

Aire = N * base * hauteur = N * cos(π/N) * sin(π/N) * 100 = 300

Et donc
cos(π/N) * sin(π/N) = 3/N

ou
1/2sin(2π/N) = 3/N

Donc

N = 12

EP. 12 – Sans laisser de traces

Question : Malheureusement, le traineau doit faire face à un vent contraire constant tout au long de son chemin et il met 1 heures pour arriver. Par contre, lorsque qu’il y a le même vent mais dans le dos, il ne met que 45minutes.

Combien met-il de temps pour faire un trajet simple lorsqu’il n’y a pas de vent ?

Réponse : 6/7 heure
Sa vitesse à vélo est V, celle du vent est v. La distance du trajet est D. On compte les temps
en minutes.

Le chemin aller donne l’équation : V-v = D/60

Le chemin retour donne l’équation : V+v = D/45

Si on fait la somme des deux équations, on trouve 2V = D/60 + D/45 ou encore V = D*(105/5400) ou en simpliant V = D *(7/360).

Or le temps de trajet sans vent est donc D/V.

Donc le temps est 360/7 minutes ou 6/7 heure (soit environ 51 minutes et 20 sec).

EP. 13 – Rennes ou caribous

Question : Mes 5 caribous boivent 5 bonbonnes d’eau en 5 jours. Mes 7 rênes boivent 7
bonbonnes d’eau en 7 jours. Mais qui boit le plus ? Un rêne ou un caribou ?

Réponse : Le caribou.
Le caribou boit 1 bonbonne en 5 jours, le rêne boit 1 bonbonne en 7 jours.

EP. 14 – Le grand déballage

Question : 10 cadeaux cubiques (de côté 10cm, 20cm … 1m) doivent être empilés en deux
piles de même taille.

Réponse : C’est impossible.

Si on fait une seule pile, cela donne une hauteur de 550cm. Si on divise la pile en deux, on aura donc deux piles de 275cm. Ce qui est impossible car les cadeaux sont tous des multiples de 10cm et donc les piles de cadeaux sont aussi des multiples de 10cm.

EP. 15 – Vermines

Question : Une encyclopédie en dix volumes est rangée dans l’ordre. Chaque volume est épais de 4,5 cm p our les feuilles et de deux fois 0,25 cm p our la couverture. U n vers né en page 1 du volume 1 se nourrit en traversant p erp endiculairement et en ligne droite la collection complète et meurt à la dernière page du dixième volume.
Quelle distance aura-t-il parcourue pendant son existence ?
Réponse : 40,5 cm
Il traverse 8 volumes et 18 couvertures.
Dessiner la tranche des livres pour bien comprendre : |1| |2| . . . |10|
Attention la première page du volume 1 est à l’extrémité droite du volume 1. Le ver ne traverse pas le volume 1 ! Idem p our le dernier volume.

Ep. 16 Trahison

Question : Une paroi de glace double de surface chaque jour et recouvre l’entrée en 100 jours. Si on prend deux parois de glace qui croissent en même temps, en combien de temps sera recouverte l’entrée ?
Réponse : 99 jours.
En 99 jours, la paroi de glace recouvre la moitié de la surface (puis double pour tout recouvrir au 100ème jour).

EP. 17 Piégés dans la glace

J’ai quatre fois l’âge que vous aviez, quand j’avais l’âge que vous avez. J’ai quarante ans, quel âge avez-vous ?

Réponse : 25 ans.
Mon âge présent = 40
Votre âge présent = T
donc Différence d’âge = 40 – T
Mon âge ancien = T
Votre âge ancien = T – diérence d’âge = T – (40 – T)
Or Mon âge présent = 4 * Votre âge ancien
donc Votre âge ancien = 10 = 2*T – 40
donc T = 25.

EP.18 L’ULTIME ENIGME

Lors d’une fête, tout le monde ore un cadeau à tout le monde excepté à
lui-même. Si 132 cadeaux ont été distribués, combien de personnes étaient présentes à la
fête ?
Réponse : 12 personnes
Soit N le nombre de personnes présentes.
Chaque personne distribue N-1 cadeaux (tout le monde sauf lui).
Comme chaque personne donne N-1 cadeaux, il y a au total N*(N-1) cadeaux.
N  (N