Calendrier : les solutions

Ces énigmes et leur résolution vous sont proposées par Thomas Guyard, doctorant en mathématiques au Laboratoire Jean Leray de l’Université de Nantes.

Ep. 1 – Nouvelle Balle

Question : Comment obtenir 100 avec une somme des éléments suivants : 16, 17, 23, 24,
39 et 40 ?

Réponse : On peut remarquer que 16+24=40, 17+23=40 et 16+23=39. Comme on veut
trouver le moins de tirs possibles, on ne peut donc pas avoir en même 16 et 24, ni 17 et 23,
ni 16 et 23 (sinon on les remplace par 39 ou 40).

Maintenant on peut tester toutes les possibilités en commencant par les plus grands
nombres :
 40+40+40=120 trop grand
 40+40+39=119 trop grand
 … 40+40+17=97 trop petit

On trouve 16+16+17+17+17+17=100 ce qui donne 6 tirs !

Ep. 2 – Faut pas traîner

Question : Un trajet de 10km se fait en 4 min avec le vent de face, et en 3 min avec le
vent de dos. En combien de temps fait-on le trajet sans vent ?

Réponse : On pose d’abord quelques notations : Vvent est la vitesse du vent, Vtraineau
est la vitesse du traineau on va les exprimer en kilomètre/minute.

On rappelle la définition de vitesse : vitesse = distance / temps

1. Le trajet avec le vent de face nous donne l’équation suivante :
Vtraineau – Vvent = 10/4.

2. Le second trajet nous donne l’équation : Vtraineau + Vvent = 10/3.

3. On va chercher à calculer Vtraineau : on commence par faire la somme des deux équations : Vtraineau – Vvent + Vtraineau + Vvent = 10/4 + 10/3.

4. On simplifie : 2Vtraineau = 10/3 + 10/4.

5. Et on trouve alors Vtraineau = 35/12.

6. Comme le trajet fait 10 km, et la vitesse est 35/12 km/min, le trajet va prendre 10 * 12/35 minutes soit 120/35 minutes. Autrement dit le trajet prendra 3 minutes et 3/7 de minutes (environ 3 minutes et 26 secondes).

EP. 3 Un trou aux archives

Question : Dans un carré grand d’1/16e d’acre, combien de têtes de forage peut-on implanter, sachant qu’elles doivent être séparées de 9 pieds l’une de l’autre ?

Réponse : On peut en placer 44 en suivant le dessin avec les grandeurs suivantes :
AB = 626/5 = 125,2 pouces ; AD=BD = 108 pouces ; AC = sqrt(7745,24) 88 pouces.

Pour trouver ces valeurs, on place 6 têtes sur un côté du carré, en les écartant au maximum.
On trouve ainsi AB. Maintenant on place la seconde rangée, avec AD = BD = 108
pouces (par hypothèse).

Pour trouver AC, il ne reste plus qu’à appliquer le théorème de
Pythagore dans le triangle ACD. Puis on place ainsi le maximum de lignes.

Cependant une solution plus optimale existe :

46 cercles de 108 de diamètre dans un carré de 734 de coté.
Ce qui fait que les 46 centres des cercles rentrent dans un carré de 626 de coté.

EP. 4 Un problème épineux

Question : 10 euros les 2 gros sapins, 10 euros les 3 petits sapins. Nombre de gros sapins = Nombre de petits sapins. Finalement on vend à 20 euros les 5 sapins. En vendant tout, il manque 70 euros par rapport à la vente habituelle.

Réponse : on cherche d’abord Nsapins le nombre de sapins vendus. Les sapins sont vendus
par paquets de 5 donc Nsapins est divisible par 5. Il y a autant de gros que de petits sapins
donc Nsapins est divisible par 2. De plus, Ngros sapins est divisible par 2 et Npetits sapins est
divisible par 3. Donc Nsapins est divisible par 60.

Supposons qu’il y ait en eet 60 sapins (30 gros et 30 petits). La vente en gros rapporte
20 * 60/5 soit 240 euros. La vente habituelle aurait rapporté 10 * 30/3 + 10 * 30/2 soit 250 euros.
avec 60 sapins, il manque 10 euros. Comme il manque 70 euros, cela veut dire qu’il y avait
60*7 = 420 sapins au total.

Les 420 sapins sont donc vendus 1680 euros, ce qui fait 840 euros par lutin. Mais la vente
des gros aurait rapporté au Gros 1050 euros. Le Gros a donc perdu 210 euros.

EP. 5 UN GROS PATRON

Question : Quel symbole mathématique peut être placé entre 5 et 9 pour obtenir un
nombre plus grand que 5 et plus petit que 9 ?

Réponse : Une virgule. On obtient 5,9.

EP. 6 MEDIUM MEDIUM

Question : le code possède 10 chiffres. Le 1er chiffre indique le nombre de 0, le second
chiffre indique le nombre de 1 … le 10ème chiffre indique le nombre de 9.

Réponse : 6210001000

EP. 7 Message codé

Question : Remplacez les lettres par des chiffres différents dont la somme correspond à :
RE +MI = FA
DO + SI = MI
LA + SI = SOL

Réponse : R=2; E=7 ; M=5; I=6 ; D=4; O=0; S=1 ; A=3; L=9.
27 + 56 = 83
40 + 16 = 56
93 + 16 = 109

EP. 8 – Mic Mac au GIEC

Question : Une ceinture magique retrécit sa longueur de moitié et sa largeur d’un tiers a
chaque fois que son propriétaire lui demande d’exaucer un voeux. Après 3 voeux, la surface
de la ceinture était de 4cm2. Quel été la longueur d’origine de la ceinture sachant que sa
largeur d’origine était de 9cm ?

Réponse : 12 cm